Muhammed b. Musa el-Hârezmî (yaklaşık 780-850) muhtemelen Harezm bölgesinden — bugünkü Özbekistan'ın batısından — Bağdat'a gelmiş, Halife Memun döneminde Beytülhikme çevresinde çalışmıştır. Burası bir hilafet kütüphanesi ve aynı zamanda bir tercüme bürosuydu: Yunan, Süryani, Pehlevi ve Sanskrit eserler Arapçaya geçiyor, böylelikle dünyanın o güne dek üretmiş olduğu en geniş tek dilli bilimsel külliyat oluşuyordu. El-Hârezmî bu birikimin yalnızca aktarıcısı değil, kendi adıyla bir matematik yöntemi kuran ilk yazardı.

Yaklaşık 820'de yazdığı Kitâb el-Muhtasar fî Hisâb el-Cebr ve'l-Mukabele, denklemleri çözmeyi sayısal bir muhasebe işi olmaktan çıkarıp simgesel bir yöntem hâline getirdi. "El-cebr" Arapça'da "yerine koyma, eksiği tamamlama" demektir — denklemin bir yanından bir terimi çıkarıp diğer yana ekleme işlemi. "El-mukabele" ise iki yandaki benzer terimleri karşılaştırıp sadeleştirme. Bu iki adım, bugün ortaokulda öğretilen cebrin tam çekirdeğidir. Kitap birinci ve ikinci dereceden denklemleri altı standart biçime indirgeyerek hepsine ayrı bir genel çözüm verdi. Henüz değişkenleri x ile değil, kelimelerle yazıyordu; ama yöntem evrenseldi.

El-Hârezmî'nin ikinci büyük katkısı, Hindistan'da geliştirilmiş olan ondokuz sayılı pozisyonel sayı sistemini — yani 0-9 rakamlarını ve özellikle sıfırı bir konum tutucu olarak — İslam dünyasının matematik diline yerleştirmesidir. Bunu anlatan kitabı, On Indian Numbers, kayıp Arapça aslından 12. yüzyılda Latinceye çevrildi; Latince başlığın ilk sözcüğü "Algoritmi de numero Indorum" idi — "Algoritmi Hint sayıları üzerine". Sonraki yüzyıllarda Avrupa, herhangi bir adım adım sayma yöntemine "algoritma" demeye başladı; sözcük yazarın adından geliyordu. Aynı süreçte cebir Latinceye "algebra" diye geçti.

Bu üç şeyin — cebir, algoritma, sıfır — birlikte aktarılması matematik tarihinde nadir bir bütünleşmedir. Cebir, somut sayılardan soyut işlemlere geçişi sağladı; algoritma fikri, bir problemi çözen sonlu adımlar dizisinin kendisinin bir nesne olduğunu gösterdi (bilgisayar biliminin temeli budur); sıfırlı ondalık sistem ise hesap yapmayı tarihte ilk kez bir uzman becerisinden çıkarıp herkes için mümkün kıldı. Roma rakamlarıyla 23 × 47'yi çarpmak isteyen biri ne demek istediğimi anlar. Rönesans'ın matematik temelleri, İtalyan tüccarların Endülüs üzerinden öğrendiği bu sistemde atılmıştır.